Приведите уравнение к стандартной форме
Квадратная формула применяется к уравнению ax² + bx + c = 0, где a не равно нулю. Если члены находятся по обе стороны равенства, перенесите их влево и приведите подобные слагаемые.
Знаки являются частью коэффициентов. В уравнении 2x² − 7x − 4 = 0 значения равны a = 2, b = −7 и c = −4. Потеря минуса изменит дискриминант, корни и всю геометрию параболы.
Обрабатывайте отсутствующие члены как нули
Неполное квадратное уравнение использует ту же формулу. Для x² − 9 = 0 коэффициент b равен нулю; для 3x² + 6x = 0 свободный член c равен нулю.
Не оставляйте отсутствующее поле неопределённым и не сдвигайте коэффициенты. Калькулятор ожидает строго a, b, c.
- Ненулевой коэффициент a при x².
- Коэффициент b при x или ноль.
- Свободный член c или ноль.
- Правая часть после преобразования равна нулю.
Начните решение с дискриминанта
Дискриминант D = b² − 4ac показывает тип корней до извлечения квадратного корня. При D > 0 существуют два различных действительных корня. При D = 0 они совпадают.
При D < 0 квадратный корень содержит i, и решения образуют сопряжённую пару. У параболы тогда нет действительных пересечений с осью x.
Формулы и обозначения
D = b² − 4acx₁ = (−b + √D)/(2a)x₂ = (−b − √D)/(2a)при D < 0: √D = i√|D|
Решите пример с двумя корнями
Для x² − 5x + 6 = 0 получаем D = (−5)² − 4 × 1 × 6 = 25 − 24 = 1. Квадратный корень из единицы равен единице.
Первая ветвь даёт (5 + 1)/2 = 3, вторая — (5 − 1)/2 = 2. Подстановка 3 и 2 в исходный многочлен даёт ноль, поэтому оба решения подтверждены.
Проверьте действительные корни по Виету
Для любого квадратного уравнения сумма корней должна равняться −b/a, а произведение — c/a. В примере сумма равна 5, произведение 6, что совпадает с коэффициентами.
Проверка Виета быстро обнаруживает ошибку знака или знаменателя. Однако она не заменяет исходное решение: две ошибочные величины могут случайно удовлетворить только одному из двух отношений.
Формулы и обозначения
x₁ + x₂ = −b/ax₁x₂ = c/a
Свяжите корни с формой параболы
Ось симметрии x = −b/(2a) находится ровно посередине между двумя действительными корнями. Подстановка этой координаты в многочлен даёт y вершины.
Знак a определяет направление ветвей. Свободный член c является значением y при x = 0. Таблица точек на одинаковом расстоянии от вершины должна давать одинаковые значения y.
- Ось симметрии проходит через вершину.
- a > 0 означает ветви вверх.
- a < 0 означает ветви вниз.
- c является пересечением с осью y.
- Действительные корни являются пересечениями с осью x.
Разберите повторный и комплексный случай
Для x² − 6x + 9 = 0 дискриминант равен нулю, а повторный корень x = 3 совпадает с координатой x вершины. Факторизованная форма равна (x − 3)².
Для x² + 4x + 5 = 0 дискриминант равен −4. Действительная часть корней равна −2, мнимые части равны ±1, поэтому решения −2 + i и −2 − i. Их сопряжённость сохраняет действительные коэффициенты исходного многочлена.
Контрольный список точности
Перед использованием округлённых корней восстановите ход вычислений. Если корень иррационален, десятичная запись является приближением.
- Уравнение приведено к нулю.
- Знаки a, b и c сохранены.
- a не равно нулю.
- b возведено в квадрат вместе со знаком.
- Выполнены обе ветви ±.
- Весь числитель делится на 2a.
- Действительные корни проверены подстановкой и по Виету.
Частые вопросы
Какие уравнения считаются квадратными?
Уравнения, которые после упрощения имеют ненулевой член ax² и не содержат более высоких степеней x.
Зачем переносить всё в одну сторону?
Коэффициенты квадратной формулы определяются для стандартной формы с нулём справа.
Почему сначала считают дискриминант?
Его знак заранее определяет количество и тип корней.
Как не ошибиться со знаком b?
Запишите b вместе со знаком из стандартной формы, а в формуле отдельно используйте −b.
Что означает плюс-минус?
Нужно выполнить две ветви: одну с прибавлением квадратного корня, другую с вычитанием.
Почему при D = 0 один корень?
Квадратный корень равен нулю, поэтому обе ветви дают одинаковое значение.
Что такое комплексный корень?
Это число с действительной и мнимой частью, содержащей единицу i, для которой i² = −1.
Как проверить корни подстановкой?
Подставьте каждый x в ax² + bx + c; результат должен быть нулём с учётом округления.
Как найти вершину без корней?
Используйте x = −b/(2a), затем найдите y подстановкой в многочлен.
Когда у параболы нет пересечений с осью x?
Когда дискриминант отрицателен и действительных корней нет.
Всегда ли можно разложить трёхчлен на действительные множители?
Нет. При отрицательном дискриминанте линейные множители будут комплексными.
Почему десятичный корень не даёт ровно ноль?
Округление иррационального значения создаёт малую погрешность при обратной подстановке.
Как решить квадратное уравнение через дискриминант?
Вычислите D = b² − 4ac и подставьте его в x = (−b ± √D)/(2a).
Проверьте свой сценарий
Введите собственные данные в Калькулятор квадратных уравнений и сопоставьте результат с методом из руководства.